차원(次元)은 수학에서 공간 내에 있는 점 등의 위치를 나타내기 위해 필요한 수의 개수를 말한다. 여기에서 사용된 수를 그 공간의 매개 변수라고 한다. 이 개념은 수학의 여러 분야에서 용도에 맞게 일반화된 형태로 사용되고 있다.
예를 들어, 평면에 포함된 한 점의 위치를 지정하는 데에는 두 개의 숫자가 필요하다. (보다 구체적으로 말해, 지구의 일부분을 묘사한 지도에서 특정한 위치를 찾아내기 위해서는 위도와 경도라는 두 개의 숫자를 알아야 한다.) 따라서 평면은 2차원이다.
하늘을 날아가는 비행기의 위치를 묘사하는 데에는 고도라는 또 하나의 변수가 필요하며, 따라서 비행기의 위치는 3차원 공간에 표시할 수 있다. 여기에 세 개의 오일러 각을 추가한 6차원 공간을 생각하면, 비행기의 방향과 궤적을 함께 표시할 수 있다. 또한, 3차원 공간에 시간을 네번째 차원으로 추가할 수도 있다.
목차 |
[편집] 차원의 종류
[편집] 공간 차원
- 데카르트 좌표계 문서를 참고하십시오.
고전 물리학은 물리 우주가 3개의 차원을 갖는 것으로 묘사한다. 공간의 각 점에서 움직일 수 있는 기본 방향을 위-아래, 왼쪽-오른쪽, 앞-뒤의 3가지로 생각하면 모든 그 이외 다른 방향으로의 움직임 또한 이 세 가지 방향으로의 움직임을 조합한 것으로 표현할 수 있기 때문이다. 특히 왼쪽을 양의 방향이라고 할 때, 오른쪽으로의 움직임은 왼쪽으로 음수만큼 움직이는 것과 같다고 본다.
[편집] 시간 차원
- 특수 상대성 이론 문서를 참고하십시오.
시간을 네번째 차원이라고 말하기도 한다. 하지만 모든 운동은 시간축 상에서 한 방향으로만 일어나는 것으로 인식된다는 점에서 시간은 다른 세 공간 차원과는 상당한 차이점이 있으며, 따라서 아리스토텔레스와 이후의 고전 물리학과 수학에서는 시간을 네번째 차원이라고 생각하지 않는다.[1]
처음 시간 차원을 제4차원으로 간주한 것은 물리학자 아인슈타인으로서, 4차원에서 통합된 공간과 시간은 서로 대칭성을 가지며 또한 회전(이것은 특수 상대성 이론에서 말하는 공간과 시간의 휘어짐으로 나타난다) 가능하다고 한다.[2]
[편집] 추가 차원
물리학의 끈 이론이나 M-이론 등은 우리 우주가 익히 알려진 3개의 차원 외에 아원자 규모의 추가 차원을 갖고 있어서, 실제의 시공간이 10차원이나 11차원일 것으로 예측하고 있다. 이는 현 시점에서 실험적으로 검증되지 않았다.
[편집] 수학적 차원
수학에서 차원의 개념을 필요로 하는 분야는 매우 다양하며, 하나의 정의가 이 여러 필요를 전부 만족시키는 것은 불가능하다. 따라서 수학자들은 여러 가지 종류의 공간에 적용시키기 위한 여러 가지 차원의 개념을 만들어냈으나, 이는 전부 근본적으로는 n차원 유클리드 공간 En의 차원 개념에서 유래한 것이다. 점 E0은 0차원이고, 직선 E1은 1차원이며, 평면 E2은 2차원이다. 보다 일반적으로, En은 n차원이다. 또한 4차원 초입방체는 4차원 대상의 좋은 예가 된다.
아래는 수학의 여러 분야에서 쓰이는 차원 개념들의 목록이다.
[편집] 벡터공간
벡터공간의 기저에 속하는 원소의 수(보다 일반적으로는 기저의 기수)를 그 벡터공간의 차원이라고 한다.
[편집] 다양체
연결된 위상다양체는 부분적으로 n차원 유클리드 공간과 위상동형이며, 이때 이 다양체를 n차원이라고 한다. 이 방법으로, 모든 연결된 위상다양체에 대해 차원이 유일하게 정의됨을 보일 수 있다.
기하위상학에서 1차원 및 2차원의 다양체론은 대체로 간단하고, 차원이 5 이상인 경우는 많은 수의 차원 상에서의 작업을 통해 문제를 간략화시킬 수 있는 반면, 3차원과 4차원의 경우가 가장 어려운 경우가 많다. 이는 푸앵카레 추측을 비롯한 여러 경우에서 나타난 현상이다.
[편집] 가환환의 크룰 차원
가환환의 크룰 차원은 볼프강 크룰[?](Wolfgang Krull)의 이름을 따 지어진 개념으로, 소 아이디얼들의 강한 포함관계(strict inclusion)에 의한 사슬의 길이가 가질 수 있는 극대값으로 정의된다.
[편집] 참조
[편집] 주석
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